“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。研究音律的学问叫做“律学”。也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。　　对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。

　　（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。这些圣咏是西方现代音乐的源头。）

　　学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。

　　律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。

　　（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ 的声音有什么不同。另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。）

　　需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。

　　（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍。大家可以听一下，感觉它们是不是音越高就“距离”越近。用音乐术语来说，这些音都是110HZ的“谐波”（harmonics），即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。这个ogg文件可以用“暴风影音”／StormCodec软件来试听。）

　　由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说，×2就是一个“八度音程”（octave）。前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si后面的那个高音do，这两个do之间就是八度音程的关系。也就是说，高音do的频率是do的两倍。同样的，re和高音re之间也是八度音程的关系，高音re的频率是re的两倍。而高音do上面的那个更高音的do，其频率就是do的4倍。也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。

　　很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。这种等效性，其实就是“等差音高序列”的直接结果。

　　“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址，曾经出土了一管距今9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏8个音符，其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do，因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系。

　　明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的。这其实是律学的中心问题。也就是说，如果某一个音的频率是F，那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。

　　如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发声是因为琴弦的振动。而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。因为在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。

　　由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。这样，在我们要寻找的F——2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F——4F中的同样位置。）

　　接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。

　　同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。

　　得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。

　　接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。

　　就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是（3/2）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

　　数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。　　这7个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

　　如果这里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。

　　仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do——re、re——mi、fa——so、so——la、la——si 之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi——fa、si——do 之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（semitone）。

　　“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，现在居然出现了81/64和243/128这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）。

　　“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。

　　自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧？也确实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。

　　可以看出“纯律”不光用到了3/2的比例，还用到了5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3（＝5/4×4/3）F、15/8（＝5/4×3/2）F。

　　虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系，现在则出现了3种：9:8（被叫做“大全音”，major tone，就是原来的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minor tone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的re和fa，其频率比是27/32，这也不怎么简单，也不怎么好听呢！所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。

　　对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗？是因为（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近。可这毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。

　　通过计算，古人发现（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F，现在就有了12个音符。

　　注意，现在的“规范”音阶不是do、re、mi……等7个音符了，而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其频率分别是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。

　　和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下，可以发现原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#（读做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音阶现在不能用do、re、mi的叫法了，应该被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：256:243（就是原来的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（这被叫做“变化半音”）。

　　也就是说，这12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。（当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严格的“距离”相等了。）原来的7声音阶中，C——D、D——E、F——G、G——A、A——B之间都相隔一个“全音”，现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。

　　既然C#被认为是从C“升”了半音得到的，那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的，所以C#和Db（读做“降D”）就被认为是等价的。事实上，5个新加入的音符也可以被写做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

　　这种12声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B，所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。

　　从7声音阶发展到12声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶，后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。

　　能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢？可以的。12声音阶的依据就是（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，按照这个思路，继续找接近的值就可以了嘛。

　　还有人真地找到了，此人就是我国西汉的著名学者京房（77 BC——47 BC）。他发现（3/2）53≈2.151×109，和231≈2.147×109也很接近，于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们现在的计算器，计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。　　当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了吧！开始学音乐的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。

　　“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多哦？但其实自然半音本身就是256:243≈1.053了。

　　如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢？因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有“转调”的必要了。

　　所谓转调，其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说，如果某一个人的音域是C——高音C（也就是以前的do——高音do），乐器为了给他伴奏，得在C——高音C之内弹奏旋律；如果另一个人的音域是D——高音D（也就是以前的re——高音re），乐器得在D——高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”，人们会觉得C——高音C之内的旋律和D——