古代数学发展的高峰

　　这时期涌现了一批杰出的数学家。其中，以秦九韶(公元1202—1261年)、李冶(公元1192—1279年)、杨辉(约13世纪中叶人)、朱世杰(约13世纪末14世纪初人)最为著名，被称为宋元数学四大家。他们的突出成就，有如下几方面：

　　高次方程的数值解法 11世纪时，数学家贾宪创立了解高次方程的新法“开方作法本源图”，利用图中三角形各个数值，可以求得各高次方展开式的各项系数。后来朱世杰把它推广应用至八次方。在欧洲，这个方法直到16世纪才由德国人阿皮纳斯得出，而法国人巴斯加在17世纪也得到这个结果，并被欧洲数学家称为“巴斯加三角”。至秦九韶更把这个方法推广成为任意高次方程的数值解法，比欧洲人的同样结果早600多年。

　　天元术和四元术 所谓天元术就是解决一元高次方程式列方程的问题，“元”代表未知数，相当于现代数学中的x。四元术则是把一元扩展到四元，即四个未知数的高次方程组。其解法应用的是消元法，与现在代数学中的解法一致。在这方面朱世杰作出了重大的贡献。欧洲直到18世纪方有人对多元高次方程组的消元法进行论述。

　　高阶等差级数 杨辉继承和发展了沈括的隙积术，郭守敬在《授时历》中应用这个方法计算日月五星的运行。同时，朱世杰创立了高次招差的一般公式，后来牛顿得到的公式与此完全一致。

　　大衍求一术 这是中国古代求解联立一次同余式方法的发展。联立一次同余式问题，最早见于《孙子算经》(成书于四五世纪)，也就是有名的孙子问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”，“答曰，二十三”。这个问题颇有猜谜的趣味，并且它的解法也很巧妙，流传到后世，有“秦王暗点兵”、“剪管术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等名称，成为文娱活动的一个节目。这个问题的解法，要用到求一次同余式的共同解。秦九韶把这一解法推广到解决各种数学问题中去，其中的数据不单是三、五、七等简单数据，可以是整数、分数、小数，并系统地提出了一般的计算步骤。500年后，欧洲著名数学家尤拉和高斯才对这类问题进行深入研究。

　　从上面所介绍的几方面成就，即可看到我国宋元时数学水平所达到的程度，以及在世界数学史中所占的地位。